👏🏾 📯 ⛹🏽 量子轨迹及其与之一起吃的东西 🔥 👨🏻‍🍳 👊🏽

这个小注释是关于如何绘制精美图片的，还有一些关于物理的知识，而关于玻莫夫量子力学的知识很少被提及。

小介绍

正如任何科幻小说和伪科学胡话喜欢告诉我们的，例如电影《秘密》一样，微观世界的定律与我们习惯的经典定律有很大不同。
在量子力学世界中，波动函数给出的概率决定了一切。

$\ psi$ （例如，那些对细节感兴趣的人可以在文章“从量子化学的角度看Muon催化。第一部分：普通氢与μon氢”中找到）。
诸如Schrödinger猫，海森堡（Heisenberg）的不确定性原理和贝尔（Bell）不等式之类的各种有趣事物的腿都是从量子力学的概率性质中成长出来的。

但是所有带有各种电子轨道的图片都没有回答“电子如何在太空中飞行”的问题。为了弄清这种情况，物理学家花了很多时间，但是无法应付。但是戴维·波姆（ David Bohm）（以Aaronov-Bohm效应而为人所熟知）最终创造了一种量子力学的形式主义（他的名字），在量子力学中仍然存在着量子粒子沿其运动的轨迹。而且，与费曼路径积分不同，每个粒子的该路径恰好是一个。此属性从根本上允许您跟踪粒子的运动，并比较经典粒子和量子粒子的运动，本文将对此进行介绍。

不仅形式主义

实际上，没有人对形式主义本身特别感兴趣，但是从这种形式主义中，人们可以构造一种量子力学的解释，由于经典力学看似简单，它却受到某些怪胎的爱戴（不多，因为进入这一行业并不容易）。
我们将不讨论这种解释（以及其他解释）。

经典和量子轨迹

我们将考虑一个相当无聊的系统：几个质子场中的一个电子。您可以在“从量子化学的角度看Muon催化”一文的第一部分和第二部分中了解该系统以及经典力学和量子力学。

牛顿第二定律给出了一定势中粒子运动的经典问题：

$m \ ddot {x} = F$

其中m是粒子质量， x是坐标， F是作用在粒子上的力，并且

$\ ddot {x} = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2}$ -粒子的时间或加速度坐标的二阶导数。如果只有势力在系统中起作用，则该力可以通过一个新实体表示，势能V为

$F =-\ frac {dV} {dx}$

在我们的例子中，在几个质子场中的电子

电子根据库仑定律与每个质子相互作用

（ ）

$V（R）=-k e ^ 2 / R$

，其中k是原子单位等于1的系数， e是电子电荷， R是从电子到质子的距离。
在这种情况下，作用在电子上的总电势等于

（ ） ，

$V = \ sum_ {n = 1} ^ N V_n（R_n）=-\ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {ke e ^ 2} {R_n} \，$

其中索引n表示质子（总共N个质子）， R _n是从电子到第n个质子的距离。

数值求解微分是牛顿的第二定律，这是一项艰巨的任务，主要是设定初始位置和速度。如果电子飞得太快，它将脱离质子的吸引力并飞向无穷大，如果只有一点能量，它将永远在一个原子核的场中颤动，永远不会访问另一个原子核。

辐射摩擦

如果考虑到辐射摩擦，该辐射摩擦是由于以下事实而发生的：当加速运动时，电子会将一部分能量提供给电磁场，将其发射到某个地方，那么电子最终将在一段时间内滚动到原子核上。

我们知道经典中发生了什么。

但是Bomov动力学会发生什么？
在这种情况下，粒子还将根据牛顿第二定律运动，

$V = V_ \ mathrm {C} + V_ \ mathrm {Q}$ 在哪里

$V_ \ mathrm {C}$ -普通牛顿定律的经典潜能，在我们的情况下具有上面给出的形式。
即除了经典势能之外，另一个实体将对其起作用：量子势能

$V_ \ mathrm {Q}$ 具有（在一维情况下）表格

$V_ \ mathrm {Q} =-\ frac {\ hbar ^ 2} {2mA} \ frac {d ^ 2A} {dx ^ 2}$

其中A是波动函数的振幅（模数）

$A = | \ psi |$ （

（ ）

$\ psi = A \ exp（i \ varphi）$ 在哪里

$\ varphi$ -波动函数的相位）。
因此，要获得量子粒子的运动方程，我们仍然需要了解一些有关波函数的知识。

关于隐藏选项

鲍姆的形式主义是具有隐藏参数的理论。但是由于隐藏参数（波动函数）是非局部的，因此这种形式主义的计算结果仍然满足Bell的上述不等式。

对于一个质子，我们知道（例如，在这里）电子波函数在基态（1s）中的精确表示（以原子单位表示）：

（ ） （ ）

$\ psi（R）= \ exp（-R）$

关于规范化和单位

在量子势的公式中，分子的归一化将随着分母而减少，因此我们不必担心。
指数的论点实际上是不值得的

$R$ 和

$R / a_0$ 在哪里

$a_0$ 是玻尔半径（0.529Å）。但是，由于我们使用原子单位，因此

$a_0 = 1$ ，这个长度单位我们负担不起写。您可以在此处了解更多信息。

在多个质子的情况下，在分子轨道方法的框架中，作为原子轨道的组合（ MO LKAO ，请参见此处），每个原子的1s轨道之和将给出具有足够精确度的基态：

大 约 （ ） （ ）

$\ psi \大约\ sum_ {n = 1} ^ N \ psi_n（R_n）= \ sum_ {n = 1} ^ N \ exp（-R_n）$

现在，要找出量子势，您只需要使用此表达式。

<s> d </ s>

功能介绍

$\ psi$ 因为1s轨道的总和是实数，因此

磅

$A = \磅$ 。
由于电子可以在三个维度上移动，因此需要一维导数

$A_ {xx}''= \ frac {d ^ 2 A} {dx ^ 2}$ 用其三维概括代替：

$\ Delta A = A_ {xx}''+ A_ {yy}''+ A_ {zz}''$ 。操作员

$\三角洲$ 可以表示为运算符nabla的平方：

$\ Delta = \ nabla ^ 2$ 。您也可以想象距离

$R_n$ 怎么

$R_n = \ sqrt {\ mathbf {R} _n ^ 2}$ 在哪里

$\ mathbf {R} _n$ 是电子相对于第n个质子的半径向量。

然后

$\ Delta A = \ nabla ^ 2 \ psi = \ sum_ {n = 1} ^ N \ nabla ^ 2 \ psi_n（R_n）$

一阶导数被认为是容易的：

$\ nabla \ psi_n（R_n）= \ nabla \ exp（-R_n）= \ exp（-R_n）\ cdot（-1）\ cdot \ frac {1} {2 \ underbrace {\ sqrt {\ mathbf {R} _n ^ 2}} _ {R_n}} \ cdot 2 \ mathbf {R} _n =-\ exp（-R_n）\ cdot \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n}$

二阶导数已经有些复杂了：

$\ nabla（\ nabla \ exp（-R_n））=-\ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} \ nabla \ exp（-R_n）-\ exp（-R_n）\ nabla \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} = \ exp（-R_n）-\ frac {2 \ exp（-R_n）} {R_n}$

在哪里

$-\ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} \ nabla \ exp（-R_n）= \ exp（-R_n）\ cdot \ underbrace {\左（-\ frac {\ mathbf {R} _n} { R_n} \ right）^ 2} _ {1} = \ exp（-R_n）$ 和

$-\ exp（-R_n）\ nabla \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} =-\ exp（-R_n）\ cdot \ left（\ frac {\ overbrace {\ nabla \ mathbf {R} _n } ^ {3}} {R_n}-\ frac {2 \ mathbf {R} _n ^ 2} {2 R_n ^ 3} \ right）=-\ frac {2 \ exp（-R_n）} {R_n}$ 。
结果仍然是：

$\ Delta \ psi = \ overbrace {\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ exp（-R_n）} ^ {\ psi}-\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {2 \ exp （-R_n）} {R_n}$
一切都分成

$\ psi = A$ 并乘以

$-\ frac {\ hbar ^ 2} {2m}$
我们得到

$V_ \ mathrm {Q} =-\ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \左（1-\ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {2 \ exp（-R_n）} {R_n} \ right ）$
在分化过程中获得力量的单位将消失，因此您可以放心地只剩下第二个学期。

结果，我们可以将量子势记为

$V_ \ mathrm {Q} \大约\ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {\ exp（-R_n）} {R_n}$

有了这个表达式，我们已经可以驱动许多质子场中电子的波姆动力学。

实作

对于所有这些耻辱，代码都是用python编写的，可以在这里找到：

Python代码

from math import * import numpy as np cutoff=5.0e-4 Quantum=True def dist(r1,r2): return np.dot((r1-r2), (r1-r2)) def Vc(r, r0): if dist(r, r0)>=cutoff: return -1.0/dist(r, r0) else: return -1.0/cutoff rH=[] #h1 #rH.append(np.array([ 0.0, 0.0, 0.0])) #h2 rH.append(np.array([-1.0, 0.0, 0.0])) rH.append(np.array([+1.0, 0.0, 0.0])) def Vat(r): V=0.0 for rh in rH: V+=Vc(r,rh) return V def PsiA(r): psi=0.0 for rh in rH: if dist(r, rh)<1.0e3: psi+=np.exp(-dist(r, rh)) return psi def Vq(r): vq=0.0 for rh in rH: if dist(r, rh)>=cutoff: vq-=2.0*np.exp(-dist(r, rh))/dist(r, rh) else: vq-=2.0*np.exp(-cutoff)/cutoff vq*=(-0.5) # -0.5*hbar**2/me return vq def GradF(F, r): grad=np.zeros(3) dx=0.1 for i in range(0,3): dr=np.zeros(3) dr[i]=dx #print(dr) #print(F(r+dr)-F(r-dr)) grad[i]+=(F(r+dr)-F(r-dr))/(2.*dx) return grad dt=0.001 tmax=2.0e1 DR=1.0 dx=0.001 MaxR=10.0 t=0.0 cent=np.zeros(3) Ntrj=30 m=1.0 def GenRvBox(DX): return np.random.uniform(-DX,+DX,3) def GenRvSph(DX): r=np.random.uniform(0.0,DX) phi=np.random.uniform(0.0,2.0*np.pi) theta=np.random.uniform(0.0,np.pi) x=r*np.sin(theta)*np.cos(phi) y=r*np.sin(theta)*np.sin(phi) z=r*np.cos(theta) return np.array([x,y,z]) for ntrj in range(0,Ntrj): if Quantum: outf=open("bmd_%05i" % (ntrj) + ".trj", "w") else: outf=open("cmd_%05i" % (ntrj) + ".trj", "w") nat=np.random.randint(0,len(rH)) r=rH[nat]+GenRvSph(DR) rprev=r+GenRvBox(dx) outf.write("%15.10f %15.10f %15.10f\n" % tuple(r)) t=0.0 while t<=tmax and dist(r,cent)<=MaxR: F= -GradF(Vat, r) if Quantum: F-= GradF(Vq, r) rnew= 2.*r - rprev + (F/m)*dt**2 rprev=r r=rnew outf.write("%15.10f %15.10f %15.10f\n" % tuple(r)) t+=dt outf.close() exit()

我们将只讨论几点。
牛顿第二定律是使用Verlet算法集成的：

$x（t + \ Delta t）= 2 x（t）-x（t-\ Delta t）+ \ frac {F（t）} {m} \ Delta t ^ 2$

通过随机选择一个质子来生成初始位置，并在其周围随机选择方向（使用球坐标）。要设置初始速度，您需要设置另一个先前的位置。使用另一个小的随机向量选择它。

打开/关闭量子势，我们切换到量子/经典运动模式。

好了，那么您可以使用Gnuplot为氢原子生成精美的图片

对于分子H ₂ ⁺

如您所见，经典轨迹（上部，蓝色）要么非常局限，要么，如果电子被迫太快地移动，则其逃离原子核。在量子情况下（较低的粉红色），量子势能使电子显着离开原子核，而在H2 ⁺分子的情况下，它使您可以从一个质子移动到另一个质子，这是化学键的间接可视化。

关于构建图片的几句话：要创建霓虹灯效果，每条路径都要经过多次绘制，从稀薄的白色到浓密的黑色，穿过感兴趣的颜色的阴影。为了方便选择这样的调色板，您可以例如使用网站https://www.color-hex.com/
下面给出了一个示例脚本。

Gnuplot的脚本

unset key
set xyplane relative 0

unset box

set view map

set size ratio -1

unset border
unset xtics
unset ytics

set terminal pngcairo size 2160,4096 backgr rgb "black"
set output "tmp.png"

yshift=-5.0
maxiC=29
maxiQ=29
splot \
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 30.0 lc rgb "#030d19" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 18.0 lc rgb "#071b33" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 17.0 lc rgb "#0a294c" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 16.0 lc rgb "#0e3766" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 15.0 lc rgb "#11457f" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 14.0 lc rgb "#155399" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 13.0 lc rgb "#1861b2" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 12.0 lc rgb "#1c6fcc" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 11.0 lc rgb "#1f7de5" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 10.0 lc rgb "#238bff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 9.0 lc rgb "#3896ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 8. lc rgb "#4ea2ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 7. lc rgb "#65adff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 6. lc rgb "#7bb9ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 5. lc rgb "#91c5ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 4. lc rgb "#a7d0ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 3. lc rgb "#bddcff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 2. lc rgb "#d3e7ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 1. lc rgb "#e9f3ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 0.5 lc rgb "#ffffff" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 30.0 lc rgb "#190613" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 18.0 lc rgb "#330c27" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 17.0 lc rgb "#4c123b" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 16.0 lc rgb "#66184f" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 15.0 lc rgb "#7f1e63" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 14.0 lc rgb "#992476" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 13.0 lc rgb "#b22a8a" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 12.0 lc rgb "#cc309e" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 11.0 lc rgb "#e536b2" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 10.0 lc rgb "#ff3dc6" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 9.0 lc rgb "#ff50cb" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 8. lc rgb "#ff63d1" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 7. lc rgb "#ff77d7" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 6. lc rgb "#ff8adc" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 5. lc rgb "#ff9ee2" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 4. lc rgb "#ffb1e8" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 3. lc rgb "#ffc4ed" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 2. lc rgb "#ffd8f3" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 1. lc rgb "#ffebf9" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 0.5 lc rgb "#ffffff" not

结论

Bomov轨迹虽然难以理解和计算，但您可以绘制出精美的图片，这些图片显示出比经典力学更有趣，更丰富的东西。

如果您有意见，问题或建议：请写。 :)

量子轨迹及其与之一起吃的东西

小介绍

经典和量子轨迹

实作

结论

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