关于“等距对齐”问题的一项新著作解释了何时可以切割一个图形并从中组装另一个图形
如果您有两张平直的纸和剪刀，可以剪一张并重新排列以得到另一张吗？ 如果可以的话，那么这两个数字是“剪刀一致的” [
等于 ]。
但是，数学家对是否可以不使用剪刀而在图形中检测这种关系感兴趣？ 换句话说，这些数字是否具有可以预先测量并确定它们是否一致的特征？
对于二维图形，答案很简单。 您只需要测量他们的面积即可； 如果它们匹配，则这些数字是剪刀式的。
但是，对于较大尺寸的图形（例如，对于无法想象的三维球或11维甜甜圈），以不同形式进行切割和重新组装的问题变得更加复杂。 尽管经过了数个世纪的努力，数学家仍无法确定可确认大多数高维图形均等组成的特征。
但是，今年秋天，两位数学家在解决这个问题上取得了几十年来最重大的突破。 在10月6日于芝加哥大学发表的一篇论文中，杜克大学的
Jonathan Campbell和康奈尔大学的
Inna Zakharevich迈出了重要的一步，证明了各种尺寸的剪刀均等。
但不仅如此。 像最重要的数学问题一样，镇定是一个兔子洞：这是一个愚蠢的陈述，将数学家吸引到了复杂数学的深渊中。 为了理解剪刀式的一致性，坎贝尔和扎克哈雷维奇可能已经展示了一种谈论这种科学的完全不同领域的新方法：代数方程。
初切
均等对齐似乎是一个简单的任务。 在2000多年前，欧几里得意识到同一区域的两个二维图形可以从一个重新排列到另一个。 可以合理地假设，相同体积的较大尺寸的图形可以类似地重做。
但是在1900年，
戴维·希尔伯特 （
David Hilbert）提出，这项任务实际上并不是那么简单。
那年，他在巴黎
国际数学大会上发表讲话，指出了
23个未解决的问题 ，他认为这将指导未来世纪的数学思想。 它们中的第三个与剪刀全等（相等多面体的相等组成）有关。 希尔伯特（Hilbert）提出，并非相同体积的所有三维图形都是一致的，并且通过建议找到一对证明这一点的数学方法对数学家提出了挑战。
演讲后的一年，希尔伯特的学生
Max Dan就做到了。 这样的术语在数学家看来是可疑的。 扎卡列维奇说：“有些人认为希尔伯特将这项任务列入清单之所以是因为他的学生已经解决了这一问题。”
不管这是不是阴谋，丹的结果都使数学家们提出了平等代表制的思想。 他证明了单个体积的四面体不等于相同体积的立方体。 无论您如何切割第一件，您都永远无法组装第二件。
除了证明体积相等还不足以确定相等的成分外，Den还提出了一种测量形状的新方法。 他证明，彼此相等的任何三维图形都必须具有相同的体积，并且还要达到新的范围。
丹集中在三维图形两个面之间的内角。 例如，在一个立方体内，所有面都以直角相交。 但是在更复杂的形式中，角度是不同的并且具有不同的重要性。 与较短的边缘之间的角度相比，较长的边缘之间的角度对图形的形状影响更大，因此，Den根据构成它们的边缘的长度为各个角分配了权重。 他将这些信息组合成一个复杂的公式，对于给定的数字，该公式产生了一个数字-“ Den不变式”。
数学家想知道何时可以切割图形并从中组合另一个图形。
如果二维图形具有相同的面积，则它们的间距相等。
如果三维图形具有相同的体积和Dehn不变，则它们的构成均等。
立方和四面体的组成不相等-它们具有相同的体积，但Den不变量不同。
可以将形状切成小块，将等式图切成子图。 数学家正在寻找Dehn不变量的类似物，它表明两个方程由相同的部分组成。邓证明，彼此等距的任何三维图形都必须具有相同的体积，并且邓不变。 但是他无法回答一个更复杂的问题：如果三维图形具有相同的体积并且Dan不变，这是否意味着它们一定相等？ 让-皮埃尔·席德勒（Jean-Pierre Sidler）终于在1965年证明了这一点。三年后，比约格·耶森（BjörgJessen）表明，这两个相同的特征决定了四个维度上的等维性。
Sidler和Jessen的结果是向前迈出的重要一步，但数学家是个贪婪的人：是否有足够的数量和Dan的不变性来确定各个维度上人物的相等组成？ 这些测量在除欧几里得以外的其他几何空间中是否足够-在球形几何体中（想象地球表面的经度和纬度），还是在双曲线几何的鞍形宇宙中？
在20世纪末，数学家亚历山大·鲍里索维奇·贡恰洛夫（Alexander Borisovich Goncharov）提出了一种方法，该方法可以一劳永逸地解决整个问题-同时将平等与完全不同的数学领域联系起来。
奇怪的连接
数学充满了意料之外的联系。 扎克哈列维奇说，做数学就像绊倒自然界中的某种奇怪事物并试图理解它是为什么。
“如果您在森林中遇到一圈蘑菇，却不知道蘑菇如何生长，您会考虑它们如何知道如何生长？ 她说。 “原因是蘑菇地下有一个菌丝体。”
在1996年，贡恰洛夫（Goncharov）提出了一系列假设，暗示了存在于表面之下的数学结构的存在。 如果存在这种结构，它将能够解释为什么某些数学现象（包括相等的成分）以这种方式起作用。
一个假设指出，
图形的体积
及其Dan不变量足以确定任何尺寸和任何空间的图形的相等组成。罗格斯大学的查尔斯·魏贝尔说：“贡恰洛夫说，在三个方面都适用的相同原则。”
但是现在在耶鲁工作的贡恰洛夫也预言，这种隐藏的结构将提供更多的解释。 他说，等距对齐是一个更普遍的概念，它不仅适用于切割几何形状，而且适用于切割由代数方程式解生成的形状-例如，方程式x
2 + y
2 + z
2 = 1的图形。通过相等的组成进行分类所需的信息反映了对代数方程式进行分类所需的信息，从而使同一类别的方程式由相同的部分组成。
这种联系令人震惊，好像适用于动物系统化的原理在某种程度上也可以使您将化学元素系统化。 许多数学家乍看之下都觉得这个想法很奇怪。
“这完全是神秘的。 乍一看，这些东西根本不应该联系在一起，”坎贝尔说。
切片方程
要了解几何形状和代数方程式如何相似，首先要了解如何将方程式的解决方案分成多个部分。 为此，让我们回到前面的示例，并绘制方程x
2 + y
2 + z
2 = 1的图形。
这将是一个领域。 但是，该表面不仅是此方程式的解的集合，而且还是其他方程式的许多较小的图或子图的集合。 例如，在球体的表面上，您可以按照地球赤道的方式绘制一个圆。 这是一个表示代数方程x
2 + y
2 = 1的解的子图。或者，您可以隔离与方程z = 1相对应的球体北极上的单个点。通过研究可以在较大的图中绘制的各个子图-类似于其组成部分-您可以找到较大图表的一些属性。
50多年来，数学家发展了代数方程子图的理论。 正如普通物质由原子组成一样，根据数学家的观点，代数方程也由称为“动机”的基本部分组成。 该术语来自法语单词主题，表示旋律的基本元素。
康奈尔大学的Inna Zakharevich动机是基本要素。 Zakharevich说，他们将谈论代数方程包括的所有内容，如旋律一样，包括各种成分。 例如，一个球体由圆，点和平面组成。 它们每个由组成部分（由于对它们的数学作用而表现出来）组成，依此类推，不断降低，直到我们谈到动机，即所谓的代数方程式的基础。
为了获得属于最重要的数学对象的方程的完整而系统的描述，数学家需要根据其动机对代数方程进行分类。 这是一项艰巨而未完成的任务。 但是在1996年，贡恰洛夫（Goncharov）提出，按相等的构成对人物进行排序和按动机对代数方程式进行排序是一项任务的两个方面-也就是说，对一项进行分类将为您提供一个对另一项进行分类的原理。
他建议这种联系是基于Dehn不变量的类似物。 只是从类似的代数方程式动机（“动机
副产物 ”）的计算中得出，而不是从最简单的几何计算中出现。
韦贝尔说：“想法是，丹不变性问题与动机相关的另一个问题平行。”
但是为了发现这种联系，数学家首先需要证明Dehn不变量确实按相等的组对图形进行排序。 登本人表明，任何等距的三维图形具有相等的体积，而登不变。 但是，丹和他之后的其他每个人都没有否认存在相同的体积和相同的丹不变性的某些具有较高尺寸的图形的可能性，这些图形不相等。 在他们的新工作中，坎贝尔和扎卡里维奇试图永久性地关闭这一机会。
两个为一个的价格
2018年6月，坎贝尔和扎克哈雷维奇在新泽西州普林斯顿的高级研究所合作了三个星期。 他们长期以来一直对平等待遇感兴趣，但扎卡列维奇认为贡恰洛夫的假设太复杂了，无法在这么短的时间内得到解决。 但是坎贝尔仍然想尝试，扎哈雷维奇很久没有说服力。
扎卡里维奇说：“乔纳森说：'我们有三个星期，让我们尝试解决这个问题，并在第一场结束前看看发生了什么。” 两周后，他们提出了许多新工作的关键思想。
在工作中，他们进行了违反直觉的思想实验。 要了解它，请想象您的旅馆里有很多房间。 您需要将所有相等的数字彼此布置在同一个房间中。 我们不知道如何确定这些数字是否相等-这是问题的根源。 但是，对于我们的思想实验，让我们想象一下这是可能的。 或者，正如扎卡里维奇所说，“我们将假装有一个无所不知的人知道两个数字是否相等。”
按房间对图进行排序后，我们验证同一房间中的所有图具有相同的体积和相同的Den不变量。 同样重要的是要验证所有具有相同体积和Den不变性的人物都在正确的房间内-从集体中掉下来的人物没有在酒店的酒吧里闲逛。 思维实验的目的是证明相等图形的组与具有相同体积和相同Dan不变性的图形组之间存在理想的一对一对应关系。 这样的对应关系的存在将证明，只有数量和Dan不变量才真正足以确定图形的相等组成。
贡恰洛夫（Goncharov）预言了这种对应关系的存在，坎贝尔（Campbell）和扎哈列维奇（Zakharevich）证明了它的存在-在一种情况下。 如果另一个与
贝林森假设有关的未经证实的结果成立，则存在对应关系。
坎贝尔洛夫和扎克哈列维奇并未充分证明贡恰洛夫的两个假说-按体积和Dehn不变性对相等的数字进行分类，以及通过Dehn不变性的类似物对代数方程进行分类。 但是，他们的工作仍然为数学家提供了一个关于如何证明它们的更清晰的思路：如果您可以证明贝林森的假设，那么借助坎贝尔和扎克哈列维奇的工作，您还将获得自由平等。
韦贝尔说：“他们的工作确实重新考虑了这一任务。” “当您以这种方式将两个假设联系起来时，就会阐明正在研究的对象的结构。”
坎贝尔（Campbell）和扎卡列维奇（Zakharevich）现在正在与另一位来自芝加哥大学的数学家
丹尼尔·鲁登科 （
Daniil Rudenko）合作 ，试图确定数字切割与分析成贡恰洛夫提出的方程的一部分之间的关系。 鲁登科已经在这个方向上取得了一些进展。 现在，他希望与Campbell和Zakharevich一起走得更远。
“我认为我们有一切机会取得重大进展。 鲁登科说：“也许通过这种方式，甚至可以证明贡恰洛夫的假设。”