所有自然数的总和：1 + 2 + 3 + 4 +...。 第二部分

很多人都知道

$$

$$1 + 2 + 3 + \点=-\ dfrac {1} {12}$$

但实际上

$$

$$1 + 2 + 3 + \点=-\ dfrac {1} {8}$$

让我们更详细地考虑第一个结果。 当然，一系列自然数在古典意义上是发散的（在部分和序列的收敛意义上：它当然没有限制）。 在本文中，作者提到了其他求和方法，例如Cesaro方法和Abel方法。 以下是一些示例：这样一个系列的总和

$$

$$\ sum \ limits_ {n \ geqslant 0}（-1）^ n = 1-1 + 1-1 + 1-1 + \点$$

使用cesaro方法将等于 $$$\ dfrac12$。

另一个例子：

$$

$$1-2 + 3-4 + 5 + \点= \ dfrac14。$$

我认为第一行的总和等于 $$$\ dfrac12$; 正确地说，在Cesaro的意义上，第一行的总和等于 $$$\ dfrac12$。 对于第二个类似： 在Abel的意义上，其总和等于 $$$\ dfrac14$。

鉴于此，第一个结果（即 $$$-\ dfrac {1} {12}$）存在概念的替代，这导致了与常识的矛盾。

现在我们更详细地考虑第二个结果。 首先，我们表示 $$$X$：

$$

$$1 + 2 + 3 + 4 + \点= X$$

现在，我们执行以下转换：

$$

$$1 + 2 + 3 + 4 + \点= 1 + \底物{2 + 3 + 4} _ {9} + \底物{5 + 6 + 7} _ {18} + \底物{8 + 9 + 10} _ {27} + \点=$$

$$

$$1 + 9 + 18 + 27 + \点= 1 + 9 \括号{\左（1 + 2 + 3 + \点\右）} _ X =X$$

从这里

$$

$$1 + 9X = X \ Rightarrow X =-\ dfrac {1} {8}$$

还有另一种解决方案。 用另一种方式组合这些术语：

$$

$$1 + 2 + \底线{3 + 4 + 5 + 6 + 7} _ {25} + \底线{8 + 9 + 10 + 11 + 12} _ {50} + \点=$$

$$

$$= 1 + 2 + 25 \括号{\左（1 + 2 + 3 + \点\右）} _ X = X，$$

那就是

$$

$$1 + 2 + 25X = X \右箭头X =-\ dfrac {3} {24} =-\ dfrac {1} {8}$$

实际上，从前三名开始，我们可以区分出7个项，它们的总和为49，我们将得出等式

$$

$$1 + 2 + 3 + 49X = X，$$

这将产生相同的结果。

通常，您需要这样：选择第一个 $$$n$项，然后在括号中 $$$2n + 1$条款：

$$

$$1 + \点+ n + \底括号{\左（n + 1 + \点+ 3n +1 \右）} _ {（（2n +1）^ 2} + \底括号{\左（3n + 2 + \点+ 5n + 2 \ right）} _ {2（2n + 1）^ 2} + \点=$$

$$

$$1 + \点+ n +（2n +1）^ 2 \左（1 + 2 + 3 + \点\右）= X$$

算术级数 $$$1 + \点+ n$等于 $$$\ dfrac {n（n + 1）} {2}$，因此，我们得到方程

$$

$$\ dfrac {n（n + 1）} {2} +（2n +1）^ 2X = X，$$

事实证明

$$

$$X =-\ dfrac {1} {8}$$