物理精确渲染的概率论

引言

在渲染中，经常使用多维定积分的计算：例如，确定空间光源（区域光）的可见性，到达像素区域的光度，在一段时间内到达的光度以及通过表面点半球进入的辐射。 这些积分的计算通常使用蒙特卡洛积分进行，其中将积分替换为随机实验的期望值。

在本文中，我将详细介绍基本的蒙特卡洛积分过程，以及减少这种技术差异的几种技术。 这将从实用的角度进行-假设读者对概率理论不是很熟悉，但仍想开发有效且正确的渲染算法。

定义积分

定积分是形式的积分 $$$\ int_ {a} ^ {b} f（x）dx$ 在哪里 $$$[a，b]$ 是一个细分（或区域）， $$$x$ -标量，以及 $$$f（x）$ -可以为段中的任何点计算的函数。 如Wikipedia所写，某个整数是一个平面上带有符号的区域 $$$x$ 受时间表限制 $$$f$ 轴心 $$$x$ 和垂直线 $$$x =$ 和 $$$x = b$ （ 图1a ）。

这个概念在逻辑上扩展到了更大的维度：对于某些双积分， 带有符号的区域变为带有符号的体积 （ 图1b ），并且通常对于某些多重积分，它变为带有符号的多维体积 。


图1：某些积分的例子。

在某些情况下，可以通过分析确定面积，例如 $$$f（x）= 2$ ：在细分市场上 $$$[a，b]$ 面积相等 $$$2（b-a）$ 。 在其他情况下，例如当我们需要找出水面上冰山部分的体积时（ 图1c ），就不可能采用解析解决方案。 在这种情况下 $$$f（x）$ 通常可以通过抽样确定。

数值积分

我们可以使用数值积分来近似计算复杂积分的面积。 一个例子是黎曼和 。 通过将区域划分为规则形状（例如矩形）来计算此数量，规则形状一起形成类似于真实区域的区域。 黎曼和定义如下：

$$

$$\ tag {1} S = \ sum_ {i = 1} ^ {n} f（x_i）\ Delta x_i$$

$$$n$ 是子间隔的数量，并且 $$$\ Delta x_i = \ frac {b-a} {n}$ -一个子间隔的宽度。 对于每个间隔 $$$我$ 我们取样 $$$f$ 在某一点上 $$$x_i$ 在子间隔内（在图2中，此点位于子间隔的开始）。


图2：黎曼和。

值得注意的是，随着 $$$n$ 黎曼和收敛到积分的实值：

$$

$$\标记{2} \ int_ {a} ^ {b} f（x）dx = \ lim_ {|| \ Delta x || \到0} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f（x_i） \ Delta x_i$$

黎曼和也可以用于大尺寸（ 图3 ）。 但是，这里我们面临一个问题：对于具有两个参数的函数，如果要获得与二维情况下可使用的分辨率相当的分辨率，则子间隔的数量应大得多。 这种现象称为尺寸的诅咒 ，而在更高的尺寸中 ，这种现象会加剧。


图3：双积分的黎曼和。

现在，我们将评估以下函数的黎曼和的准确性（我们有意选择了一个复杂函数）：

$$

$$\ tag {3} f（x）= \左| \ sin \左（\ frac {1} {2} x + \ frac {\ pi} {2} \ right）\ tan \ frac {x} {27} + \ sin \左（\ frac {3} {5} x ^ 2 \ right）+ \ frac {4} {x + \ pi + 1} -1 \右|$$

段上的功能图 $$$[-2.5,2.5]$ 如下所示。 作为参考，我们在Wolfram Alpha中计算了某个积分 $$$\ int _ {-2.5} ^ {2.5} f（x）$ 到达区域 $$$3.12970$ 。 右图显示了使用黎曼和求和的数值积分精度 $$$n$ 。


图4：函数图和黎曼和精度。 即使小 $$$n$ 我们得到一个相当准确的结果。

为了获得准确性的概念，我们给出数字： $$$n = 50$ 错误是 $$$〜2 \ times10 ^ {-3}$ 。 在 $$$n = 100$ 错误是 $$$〜3 \ times10 ^ {-4}$ 。 可以得到以下数量级 $$$n = 200$ 。

有关黎曼金额的更多信息，请参见以下资源：

• 卡恩学院（Kahn Academy）： https : //www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-accumulation-riemann-sums/ab-riemann-sums/v/simple-riemann-approximation-using-rectangles
• 维基百科： https ： //en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum

蒙特卡洛（1）

渲染时，几乎没有（也许根本没有？）积分是单个的 。 这意味着我们将很快遇到维度的诅咒。 此外，以相等的间隔对一个函数进行采样会 导致 采样和失真 不足 ：我们可以跳过该函数的重要值，或者在采样的函数和采样模式之间获得意外的相互干扰（ 图5 ）。


图5：失真会导致部分采样函数丢失（红色），在这种情况下，会导致对函数的完全错误解释。

使用称为Monte Carlo积分的技术可以解决这些问题。 类似于黎曼和，它在一组点上也使用函数采样，但是与确定性黎曼和模式不同，我们使用根本上不确定的成分：随机数。

蒙特卡洛积分基于以下观察结果：可以用随机实验的期望值代替积分：

$$

$$\标签{4} \ int_ {a} ^ {b} f（x）dx =（ba）E \左[f（X）\右] \大约\ frac {ba} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f（X）$$

换句话说，我们对函数进行采样 $$$n$ 段中任意点的时间（用大写字母表示） $$$X$ ），对样本求平均值，然后乘以线段的宽度（对于一维函数）。 就像黎曼和一样， $$$n$ 到无穷大，样本的平均值收敛到期望值，即积分的真实值。

一点概率论

了解此处使用的每个概念很重要。 让我们从等待开始：这是单个样本的期望值。 请注意，这不一定是可能的值，这似乎违反直觉。 例如，当我们掷骰子时，期望等于 $$$3.5$ -所有可能结果的平均值： $$$（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6）/6=21/6=3.5$ 。

第二个概念是随机数 。 这看起来似乎很明显，但是对于蒙特卡洛积分，我们需要均匀分布的随机数，即 每个值都应具有相等的生成概率。 稍后我们将详细讨论。

第三个概念是偏差及其相关的方差 。 即使我们采用少量数字，预期平均值以及每个样本的预期值也应相同。 但是，在计算方程式4时，我们很少得到这样的值。 偏差是期望与实验结果之间的差异： $$$X-E（X）$ 。

实际上，这种偏差具有有趣的分布：


这是正态分布或高斯分布的图形：它表明并非所有偏差均可能。 实际上，大约有68.2％的样品在此范围内 $$$-1 \ sigma..1 \ sigma$ 在哪里 $$$\ sigma$ （sigma）是标准偏差 。 标准偏差可以用两种方式描述：

• 标准偏差是数据变异性的量度 。
• 95％的数据点在 $$$2 \西格玛$ 从平均水平。

有两种确定标准偏差的方法：

1. 标准偏差 $$$\ sigma = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \左（X_i-E \左[X \右] \右）^ 2}$ ：可以计算是否存在离散的概率分布并且期望值是已知的 $$$E [X]$ 。 这对于其中的多维数据集是正确的 $$$X = {1,2,3,4,5,6}$ 和 $$$E [X] = 3.5$ 。 代入数字，我们得到 $$$\ sigma = 1.71$ 。
2. 同样，样品的标准偏差可以计算为 $$$\ sigma = \ sqrt {\ frac {1} {n-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \左（X_i-X \右）^ 2}$ 。 在Wikipedia上阅读有关此内容的更多信息。

检查：这是正确的吗？ 如果 $$$\ sigma = 1.71$ ，我们声明68.2％的样本在3.5的1.71之内。 我们知道 $$${2,3,4,5}$ 满足此条件，并且 $$$1$ 和 $$$6$ -不 六分之四为66.7％。 如果我们的多维数据集可以在区间中产生任何值 $$$[1..6]$ ，那么我们将获得准确的68.2％。

代替标准偏差，相关的方差概念被定义为 $$$Var \左[X \右] = \ sigma ^ 2$ 。 由于使用了平方，因此方差始终为正，这有助于计算。

蒙特卡洛（2）

上面，我们使用黎曼和求和近似计算了方程3 。 现在，我们使用蒙特卡洛积分重复该实验。 回想一下蒙特卡洛积分的定义如下：

$$

$$\标签{5} \ int_ {a} ^ {b} f（x）dx =（ba）E \左[f（X）\右] \大约\ frac {ba} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f（X）$$

让我们将其转换为C代码：

double sum = 0; for( int i = 0; i < n; i++ ) sum += f( Rand( 5 ) - 2.5 ); sum = (sum * 5.0) / (double)n; 

来自的值的结果 $$$n = 2$ 之前 $$$n = 200$ 如下表所示。 从中可以假设，蒙特卡洛积分的表现远比黎曼和差。 仔细检查错误后发现 $$$n = 200$ 黎曼和的平均误差为 $$$0.0002$ 和蒙特卡洛 $$$0.13$ 。


图6：2..200样本处的蒙特卡洛误差

在较大的尺寸中，这种差异会减小，但不会完全消除。 下面显示的等式是上面使用的等式的扩展版本，具有两个参数：

$$

$$f（x，y）= \左| \ sin \左（\ frac {1} {2} x + \ frac {\ pi} {2} \ right）\ tan \ frac {x} {27} + \ sin \左（\ frac {1} {6} x ^ 2 \右）+ \ frac {4} {x + \ pi + 1} -1 \右| \左| \ sin \左（1.1y \右）\ cos \左（2.3x \右）\右| （6）美$$

图7：以上公式的图形。

在定义领域 $$$x∈[-2.5,2.5]，y∈[-2.5,2.5]$ 受此功能和平面限制的音量 $$$xy$ 等于 $$$6.8685$ 。 在 $$$n = 400$ （20×20个样本）黎曼和的误差为 $$$0.043$ 。 对于相同数量的样本，平均蒙特卡洛积分误差为 $$$0.33$ 。 这比以前的结果要好，但是区别仍然很大。 为了理解这个问题，我们将研究著名的蒙特卡洛积分色散降低技术，即“分层”。


图8：分层的影响； a）分布不良的样品； b）样品分布均匀。

分层提高了随机数的一致性 。 在图8a中 ，使用八个随机数对函数进行采样。 由于每个数字都是随机选择的，因此它们通常在定义范围内分布不均。 图8b显示了分层的效果：将定义区域分为八个层，并在每个层中选择一个随机位置，这提高了均匀性。

对方差的影响是相当明显的。 图9a显示了分层和不分层的结果图。 图9b显示了近似值误差。 在 $$$n = 10$ 8个层的平均误差为 $$$0.05$ ; 20层- $$$0.07$ ，对于200层，它减少到 $$$0.002$ 。 基于这些结果，似乎值得使用大量地层。 但是，分层的缺点是随着层数的增加而增加。 首先，样本数应始终为层数的倍数； 其次，就像在黎曼和中一样，分层受到维度诅咒的困扰。


图9：分层和方差：a）从n = 2到n = 200的样本数量的近似值； b）偏差。

重要性样本

在前面的部分中，我们平均采样了方程式。 蒙特卡洛积分功能的扩展使我们可以改变情况：

$$

$$\标签{7} \ int_ {a} ^ {b} f（x）dx =（ba）E \左[f（X）\右] \大约\ frac {ba} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {f（X）} {p（X）}$$

在这里 $$$p（X）$ 是概率密度函数（pdf） ：它确定随机变量取某个值的相对概率。

对于区间中的均匀随机变量 $$$0..1$ ，pdf为1（ 图10a ），这意味着每个值都有相同的选择概率。 如果我们将此功能集成到 $$$[0,0.5]$ 然后我们得到概率 $$$0.5$ 什么 $$$X <\ frac {1} {2}$ 。 对于 $$$X> \ frac {1} {2}$ 我们显然得到了相同的概率。


图10：概率分布。 a）恒定的pdf，每个样本具有相同的选择概率； b）pdf，低于0.5的样本具有较高的选择概率。

图10b显示了另一个pdf。 在这种情况下，生成数字的可能性较小 $$$\ frac {1} {2}$ 等于70％ 可以使用以下代码段来实现：

 float SamplePdf() { if (Rand() < 0.7f) return Rand( 0.5f ); else return Rand( 0.5f ) + 0.5f; } 

该pdf定义如下：

$$

$$\ tag {8} p（x）= \左\ {\开始{矩阵} 1.4，如果x <\ frac {1} {2} \\ 0.6，否则\结束{matrix} \ right$$

数字 $$$1.4$ 和 $$$0.6$ 反映需求的可能性 $$$x <\ frac {1} {2}$ 等于70％ 整合pdf时 $$$[0 .. \ frac {1} {2}]$ 给 $$$1.4 \次\ frac {1} {2}$ 和 $$$0.6 \ times \ frac {1} {2}$ 等于 $$$0.3$ 。 这说明了所有pdf的一个重要要求：集成pdf的结果应为1。另一个要求是 $$$p（x）$ 如果不能为零 $$$f（x）$ 非零：这意味着零件 $$$f$ 采样概率为零，这显然会影响该值。

了解pdf概念的一些技巧：

• 一个pdf值不能描述概率：因此，本地pdf可以大于1（例如，就像刚刚检查的pdf）。
• 但是，pdf定义范围内的积分是一个概率，这意味着pdf的积分为1。

一个值可以解释为特定值出现的相对可能性 。

值得考虑的是， 正态分布是一个概率分布函数：它为我们提供了某个随机变量处于一定间隔内的概率。 在正态分布的情况下，此随机变量是与平均值的偏差。 像任何体面的pdf一样，对正态分布求积分的结果是1。

因此， 公式7允许我们执行非均匀采样。 它通过将每个样本除以其选择的相对概率来进行补偿。 其重要性如图11a所示。 功能图显示了一个重要的时间间隔，其值是 $$$0$ 。 在该区域进行采样是没有意义的：总和中不添加任何内容，我们只需将其除以更大的数字即可。 记住图1c中的冰山：在冰山周围的大面积上采样高度是没有意义的。


图11：具有零值的函数的pdf。

使用此功能知识的pdf显示在图11b中 。 请注意，对于值范围，此pdf实际上为零。 这不会将其转换为错误的pdf：在某些地方，该功能为零。 我们可以将这个想法扩展到零以上。 样本最好花在函数具有重要价值的那些地方。 实际上， 理想pdf 与采样函数成正比 。 关于我们的功能的一个非常好的pdf显示在图12a中 。 更好的pdf显示在图12b中 。 在这两种情况下，我们都不要忘记对其进行归一化 ，以使积分等于1。


图12：图11中功能的增强pdf

图12中的pdf为我们提出了两项​​任务：

1. 如何创建这样的pdf文件；
2. 如何采样这样的pdf？

这两个问题的答案是相同的： 我们不需要这样做。 在许多情况下，我们要集成的功能是未知的，而确定重要位置的唯一方法是对其进行采样，为此，我们需要pdf。 “鸡肉和鸡蛋”的经典情况。

但是，在其他情况下，我们对函数可以给出较高值或零值的位置有一个大概的了解。 在这种情况下，非常粗糙的pdf通常比没有pdf更好。

另外，我们可能有机会即时创建pdf。 几个样本给出了函数形式的概念，在此基础上，我们将后续样本定位到我们希望获得较高值的地方，这些地方将用于改善pdf等。

在下一篇文章中，我们将把这些概念应用于渲染实现。 一个严重的挑战是建立pdf。 我们研究了pdf有助于抽样的几种情况。