我们最终发现了一组数字应该有多大，以便保证包含称为“多项式级数”的模式
数学中的某些模式非常罕见，以至于您一生都无法找到它们。 其他人是如此普遍，以至于他们似乎无法避免。
牛津大学
萨拉·皮利乌斯 （
Sarah Pilius）提出的新
证据表明，一种特别重要的数字模式本质上是不可避免的：无论选择什么数字，都可以在任何足够大的数字集合中找到它。
加州大学洛杉矶分校的
陶伦斯（Terence Tao）说：“这些模式具有固有的坚不可摧性。”
Pilyus的证明涉及一系列数字，称为“多项式级数”。 它们很容易创建-您可以非常快速地制作自己的文本-它们与数字加法和乘法之间的联系有关。
几十年来，数学家已经知道，对于一组（或“一组”）较小的数字（即，当它包含相对较少的数字时），可能根本没有任何多项式级数。 他们还知道，随着集合的增长，它最终会超过某个阈值，此后它已经包含了很多数字，以至于其中一个序列必须在那儿满足。 它看起来像一碗汤，上面有面团字母-字母越多，您添加文字的可能性就越大。
但是在Pilius之前，数学家并不知道这个阈值是多少。 她的证明为这个问题提供了答案-一个精确的公式，用于确定该集合应该多大，从而保证某些多项式级数。
在此之前，数学家只有模糊的想法，认为在整数（1、2、3等）中可以找到多项式级数。 现在他们确切地知道在哪里寻找他们。
寻找模式
为了想象这些模式，请考虑其中一种，比Pilius所使用的模式要简单一些。 让我们从数字2开始，我们将添加一个三元组：2、5、8、11、14等。 这种模式-从一个数字开始，再加上另一个-被称为“算术级数”。 这是数学上研究最频繁的课程之一。
关于整数之间算术级数的出现频率，必须理解两点。
恩德雷·塞米尔第（Endre Cemeredi）在1975年证明了其中之一。 他说，首先，选择算术级数的长度。 这可以是具有四个成员（2、5、8、11）或一个家族（14、17、20、23、26、29、32）的模式，或者通常具有任何数量。 此后，他证明了数字集达到一定大小（他无法确定）后，他肯定会发现这种长度的算术级数。 因此，他强调了这样的想法，即在某处足够大的一组数字中必然有一个模式。
“事实上，塞米尔第说过，彻底搞砸是不可能的。 牛津大学的
本·格林说：“无论您采用多少结构，总能成功地采用某种结构。
但是，Szemeredi的定理并没有说要使这些模式成为不可避免的数字集合应该多大。 他只是简单地说，对于任何选定长度的算术级数，都必须包含许多未知大小的数字。
在那之后的二十多年中，数学家确定了这个大小-以此方式证明了关于算术定律的第二个基本事实。
2001年，来自剑桥大学的
蒂莫西·高尔斯 （
Timothy Gowers） 证明 ，如果要确保找到五个成员的算术级数，则需要大量至少一定大小的数字，然后确定其大小（很难描述确切的大小，该公式包含巨大的指数数）。
要了解Gowers所做的事情，您需要通过谈论一组数字的“大小”和“相当大的大小”的概念来理解数学家的意思。
首先，在数字行上选择一个间隔，例如1到1000，或者更随机一些，例如17到1016。该间隔的开始和结束无关紧要，只有其长度很重要。 然后确定要添加到集合中的该间隔中的数字分数。 例如，如果创建一个从1到1000的100个数字的集合，则集合的大小将为间隔的10％。
无论您如何从该集合中选取数字，高尔斯的证明都是有效的。 您可以从1到1000的范围内获取100个第一个奇数，以100结尾的100个第一个奇数，甚至100个随机数。 Gowers证明，无论采用哪种方法，只要该集合在足够长的间隔内占据足够大的空间（不一定是10％），就不可避免地会出现五个成员的算术级数。 对于任何长度的算术级数，他都证明是相同的。
“在高尔斯之后，我们知道如果他们给我任意长度的算术级数，那么一定大小的数字的任何子集都必然包含这种级数，” Pilius说。
Pilius的工作类似于Gowers的成就，只是她专注于多项式级数。
在算术级数中，我们选择一个初始数字，然后再添加一个初始数字。 以Pilius研究的多项式级数的形式，选择初始值，然后向其添加另一个数字的幂。 例如：2、2 + 3 1，2 + 3 2，2 + 3
3，2 + 3
4 。 即2、5、11、29、83。在其发展过程中，每个学位也只有一个成员-此要求简化了与他们的工作。
这些多项式级数与重要的规则性（例如几何级数）紧密相关，几何级数是通过将数字递增到更高的程度而形成的：3 1，3
2，3 3，3
4 ，...它们自然地出现在数学和物理学的许多领域中，并令数学家欣喜不已。几千年了。 即使在大量数字中，几何级数也不常见，但是，如果稍加校正（例如，为每个项添加一个常数），则会得到多项式级数。 但是它们似乎无处不在。
“您可以创建不包含几何级数的大量数字。 但是如果您给自己一点自由并移动几何级数，“创建一个多项式级数，那么大型集合似乎就不得不包含它们。”兰开斯特大学的
肖恩·普伦德维尔说，他与
Pilius一起研究了多项式级数。
在1996年，
Vitaly Bergelson和
Alexander Leibman证明，当他们大量达到足够大的大小时，必然会出现多项式级数-这与Cemeredi的多项式等效。 但是，数学家不知道“足够大”的集合应该有多大。
皮利斯（Pilius）以一种违反直觉的方式回答了这个问题-考虑许多数字应该具有什么特性，以便不存在这样的模式。
用图案战斗图案
Pilius想要确定该集合应该有多大-区间中数字应包含的百分比-以确保它包含给定的多项式级数。 为了做到这一点，她介绍了许多方法可以避免许多数字的出现，然后证明即使超过一定大小也无法使用这些策略中的最巧妙方法。
这项任务可以视为一项竞赛。 假设有人要求您创建一个包含一半数字（从1到1000）的集合。如果该集合没有多项式级数的前四个成员，您将获胜。 您将如何选择数字？
牛津大学的Sarah Pilius您可能会本能地尝试随机选择数字。 但是这种本能是错误的。
“大多数集合都在
正态分布的中间。 它们包含多项式级数的平均数，” Prendeville说。 这个平均值远远超过您要求的零。
好像您要从整个星球中选择一个随机的人，然后得到一个增长接近平均水平的人。 如果您的目标是找到一个高度超过2 m的稀有标本，则需要以更具方向性的方式进行搜索。
因此，要赢得号码选择比赛，您需要一种更有条理的方法来决定将哪些号码包含在500件中。 例如，您可能会注意到，如果仅选择偶数，则可以消除集合包含包含奇数的多项式级数的可能性。 进步！ 自然地，通过这种方式，您增加了集合包含由偶数组成的多项式级数的可能性。
但是，最重要的是，通过结构化的方式来选择500个数字，您可以消除出现在一组特定多项式级数中的可能性。 换句话说，为了避免图案，有必要观察图案。
Pilius决定证明，当达到一定大小时，即使是非常聪明的组合集也仍然必须包含多项式级数。 实际上，她想确定一个临界点，每次避免包含一种类型的多项式级数时，就会出现另一种类型的多项式级数的存在-偶数和奇数均是如此。
为此，她需要找到一种方法来量化场景的结构。
结构测量
在Pilius开展工作之前，许多数学家试图确切地理解多项式级数何时出现大量。 许多非常成功的数学家都参与了这项工作，但是他们中没有一个人能够在找出包含各种长度的多项式级数而必须达到的集合大小方面取得重大进展。
他们的主要障碍是数学家不知道如何表征避免出现多项式级数的结构。 有一种潜在的技术，但是当Pilius开始在这一领域工作时，它不能应用于涉及多项式级数的问题。
该技术出现在Gowers的2001年关于算术级数的论文中。 高尔斯（Gowers）创建了该测试，称为“ Gauers规范”，该测试可以检测大量数字中的某种类型的结构。 该测试会产生一个数字，该数字确定集合中的结构性数量-也就是说，它以数字方式显示该集合与一组简单的随机数之间的距离。
格林说：“集合的概念看起来是随机的，数学上没有明确定义。” 高尔斯找到了量化这一概念的方法。
许多可以或多或少地结构化。 包含随机数的集合没有结构，因此很可能包含数字模式。 这种集合的Gowers规范较低。 仅包含奇数或仅可被10整除的数字的集合具有基本结构。 很容易证明，如果超过某个大小，则各种规则也将出现在这种简单结构的集合中。
最难的事情是使用许多非常复杂的结构。 它们看起来可能是随机的，但同时是根据一些非常棘手的规则构建的。 他们的高尔（Gowers）规范很高，并且当集合的大小增加时，他们提供了系统地避免模式出现的最佳机会。
由于高尔斯使用这些技术来搜索与算术级数相关的问题的答案，因此它们无法应用于有关多项式级数的问题。 算术级数具有相等的时间间隔，多项式级数中的数字跃迁非常活跃。 高尔规范对于研究多项式级数以及用于修剪房屋中旧油漆的修剪器非常有用：这个想法很相似，尽管它并不完全适合这项工作。
在新证据中，Pilius使用Gowers规范的基本思想来创建一种分析与多项式级数相关的结构的新方法。 她使用“降低程度”的技术来证明，在对她感兴趣的多项式级数进行的过程中，您应该只担心Gowers范数较低的简单结构。 事实是，多项式在一个术语到另一个术语的过渡过程中变化很大，以至于不可避免地要突破不那么持久的数字障碍，例如大象从陈列柜中推出瓷器。
Pilius公式很难用简单的术语来描述。 它涉及原始间隔长度的双对数，您可以从该间隔中选择一组数字。 她获得的最小尺寸不一定是所有可能的最小尺寸-在将来的作品中，可能会发现真实阈值甚至更低。 但是直到它的证明出现，数学家才对存在多项式级数的保证的表象没有一个定量的了解。
Prendivil说：“她是第一个展示套装大小的人。”
证明Pilius定量回答了一个与多项式级数有关的问题。 现在，数学家希望用它来回答另一个问题-有关何时多项式级数完全出现在素数（数学中最重要的数）集合中，顽固地抵制任何类型的序列。 在这一证明出现之前，数学家还不知道如何解决这个问题。
皮利乌斯说：“希望我的工作中的某些论点可以应用于素数领域。”