数学家将Collatz假设视为“沼泽”，并相互警告说应该远离它。 但是，如今，陶德伦（Terence Tao）取得了几十年来比任何人都更大的进步。
取任何数字。 如果是偶数，则将其分为两部分。 如果是奇数，则乘以三，再加一。 再说一次 最终有没有数字等于1？有经验的数学家建议初学者不要
使用Collatz假设 。 他们称之为警笛声：受其影响，您将永远无法从事有意义的工作。
Collatz的假设，也许是未解决的数学问题中最简单的一个，正是它使它如此诱人的魅力所在。
“这是一个非常危险的任务。 密西根大学的数学家，Collatz假说专家
杰弗里·拉加里亚斯 （
Jeffrey Lagarias）说，即使这是完全不可能的，人们也会对此着迷。
但是在2019年，世界上最好的数学家之一敢于尝试它，并且获得了几十年来取得的所有成果中
最重要的成果。
在2019年9月8日，
Terence Tao发布了一份证明，表明Collatz假设对于所有数字至少都是“几乎”真实的“几乎”。 尽管“道”的结果并不能完全证明这一假设，但对于一项不那么容易揭示其所有秘密的任务而言，这是一个非常严重的突破。
加州大学洛杉矶分校的数学家陶说：“我没想到能完全解决问题。” “但我设法做到了超出预期的事情。”
Collatz拼图
Lothar Collatz可能在1930年代提出了同名的假设。 挑战听起来像是聚会的把戏。 取任何数字。 如果是偶数，则将其分为两部分。 如果是奇数，则乘以三，再加一。 获取一个新号码。 为他应用相同的规则。 假设说如果您持续重复此过程，将会发生什么。
直觉表明起始编号会影响最终结果。 也许某些数字最终会减少到1。也许其他数字将无限期增加。
但是，Collatz预测事实并非如此。 他建议，如果您从一个正整数开始并重复很长时间，那么从任何初始数字开始，您都将得出1。而成为统一之后，假设规则将使您陷入无限循环：1、4、2、1 4，2，1，以此类推，直到无穷大。
多年以来，许多任务爱好者都被Collatz假设（也称为“ 3x +1问题”）吸引人的简单性所吸引。 数学家已经检查了五百亿个示例（这是一个有18个零的数字），并未发现Collatz的预测有一个例外。 您自己可以尝试使用Internet上许多“
Collatz计算器 ”中的任何一个来检查一些示例。 互联网上充斥着假说的无用的业余证据，该假说的作者声称他们能够证明或反驳它。
“您只需要能够乘以3并除以2，您就可以开始玩了。 “这非常诱人，”格林纳尔学院的数学家
马克·张伯伦 （
Mark Chamberlain）说，他录制了有关该问题的YouTube热门视频，称为“最简单的不可能的问题”。
但是，没有真正的证据。
1970年代，数学家证明，几乎所有Collatz序列（当您重复该过程时都会得到的数字列表）最终得出的数字要小于最初的数字。 这是微弱的证据，表明几乎所有Collatz序列都导致1，但事实并非如此。 从1994年到2019年的Tao比赛结果，Ivan Korets保持了展示最小值的
记录 。 其他作品同样尝试攻击任务，但未达到其主要目标。
斯坦福大学数学家
坎南·桑达拉拉让 （
Kannan Saundararajan）说：“我们对Collatz问题的理解不够充分，因此在此问题上还没有进行大量研究。”
这些尝试的徒劳无功使许多数学家得出这样的结论，即在当前的知识水平上根本无法获得该假设，因此最好将时间花在其他研究上。
南卡罗来纳大学的
乔舒亚·库珀说：“ Collatz问题以其复杂性而闻名，以至于数学家通常在每次讨论之前都会发出警告，不要浪费时间。”
意外的建议
至少40年前，拉加里亚斯第一次成为学生时就对这种假设感兴趣。 几十年来，他一直是与她有关的一切的非正式策展人。 他收集了与她有关的
整个作品
库 ，并在2010年以一本书的形式出版了其中的一些作品：“
决定性挑战：任务3x +1 ”。
拉加里亚斯说：“现在，我对该问题有了更多了解，我仍然可以说不可能解决它。”
陶通常不会把时间花在不可能完成的任务上。 2006年，他获得了数学
领域的最高奖项
菲尔兹奖 ，并被认为是这一代最好的数学家之一。 他习惯于解决问题，而不是在空中追逐城堡。
他说：“这些是与数学专业有关的风险。” “您可能会沉迷于任何人都无法承受的重大已知任务之一，并且会浪费大量时间。”
但是，陶并不总是成功地抵制来自这一领域的诱惑。 每年他都会花一两天的时间解决最著名的数学问题。 多年以来，他对Collatz假设采取了几种方法，但无济于事。
然后在八月，一位匿名读者在陶的博客上发表了评论。 他建议尝试解决“几乎所有”数字的Collatz假设，而不试图完全证明这一点。
陶说：“我没有回答，但是这让我重新考虑了这项任务。”
他意识到Collatz的假设在某种程度上类似于特殊类型的方程（偏微分方程），这是他职业生涯中获得的最重要的结果。
输入和输出
偏微分方程（PDE）可用于模拟宇宙中许多最基本的物理过程，例如液体的演化或引力波通过时空的过程。 它们出现在系统的未来位置（例如，向其扔石头五秒钟后的池塘状态）取决于两个或多个因素（例如粘度和水流速度）的影响的情况下。
似乎复杂的PDE与Collatz假设这样的简单算术问题几乎没有关系。
但是陶意识到他们有一些共同点。 可以在PDE中替换值，获取其他值，重复该过程-所有这些都可以了解系统的未来状态。 对于每个给定的LDPE，数学家需要知道输入的初始值是否将导致输出的无穷大，或者等式是否始终产生最终值，而与初始值无关。
陶（Terence Tao）受博客评论的启发，在研究Collatz假设方面取得了数十年来最大的进步对于Tao来说，这个目标的顺序与您是否始终从Collatz过程中获得相同的值（1）无关，而与初始值无关。 结果，他意识到研究PDE的技术可能适合于研究Collatz假设。
一种特别有用的技术是使用统计方法来研究少量初始值（例如池塘中少量初始水配置）的长期行为，并将结果外推到所有可能的初始池塘配置的长期行为。
在Collatz假设的背景下，想象一下我们从大量数字样本开始。 我们的目标是研究当我们对它们应用Collatz过程时这些数字的行为。 如果样本中几乎100％的数字变为1或非常接近1，我们可以得出结论，几乎所有数字的行为都相同。
但是为了使这个结论合理，有必要仔细选择样本。 此任务类似于在美国总统大选中收集选民样本。 为了对整个人口进行仔细采样，应该对共和党和民主党人，男女等等使用加权比例。
数字具有自己的“人口统计”参数。 奇数和偶数，可被3整除的数字以及彼此之间更为复杂的数字。 通过创建一组数字，可以确保根据平衡原则输入某些类型的数字，而不会输入其他类型的数字-选择权重越好，一般而言，关于所有数字的结论越准确。
加权选择
陶的任务比仅仅了解如何创建具有正确权重的数字初始选择要复杂得多。 在Collatz流程的每个步骤中，您处理的数字都会发生变化。 一个明显的变化是样本中的几乎所有数字都在减少。
另一个可能不太明显的变化是数字可能开始成组累积。 例如，您可以从一个均匀的数字分布开始，从一到一百万。 但是经过五次迭代后，数字可能会集中在数字线的几个小间隔上。 换句话说，您可以从一个好的样本开始，在五个步骤中，样本将无可救药地变形。
“您通常可以预期，迭代之后的分布将与初始分布完全不同，”陶说。 但是，他的主要思想是如何创建一个数字样本，该数字在Collatz流程中大部分保持其原始权重。
例如，对Tao的初始样本进行加权，以使其没有被3整除的数字，因为Collatz过程仍然非常快地消除了这些数字。 陶选择的其他权重比较困难。 他更喜欢除以3的余数为1的数字，而除以除以3的余数为2的数字。
结果，即使在Collatz过程开始之后，开始使用Tao的样本仍保留其特征。
桑达拉拉扬说：“他找到了一种继续这一过程的方法，因此，经过几步仍然可以清楚地知道正在发生什么。” “当我第一次看到这项工作时，我感到非常高兴，并认为这很棒。”
陶使用权重分配技术来证明几乎所有初始值（至少99％）最终都达到非常接近于1的值。这使他得出结论，即99％的初始值都大于四倍体。结果，得出的值小于200。
可以说，这是该假设历史悠久的最强结果。
Lagarias说：“这是我们对完成此任务的认识的重大突破。” “这绝对是很长时间以来最好的结果。”
道方法几乎可以肯定不能完全得到Collatz假设的充分证明。 原因是他的初始选择在每个步骤之后仍然有些失真。 失真将是最小的，而样本仍然包含许多远离1的值。但是在Collatz过程中，样本中的所有数字开始趋于一个，并且较小的失真会变大-就像计算投票结果中的小误差不会对于大样本而言，该值较大，但当样本较小时，该值会严重影响结果。
完整假设的任何证据都很有可能基于不同的方法。 结果，Tao的工作对所有感兴趣的人来说都是胜利，也是警告：一旦您觉得完成任务很艰巨，便会烟消云散。
陶说：“您可以随意接近Collatz的假设，但仍然无法实现。”